# Πίνακες αληθείας

Μια δυαδική λογική συνάρτηση παίρνει δύο λογικές εισόδους και επιστρέφει μία λογική έξοδο. Υπάρχουν ακριβώς **δεκαέξι** τέτοιες συναρτήσεις — δηλαδή `2^(2^2)`: καθένας από τους τέσσερις συνδυασμούς εισόδου `(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)` αντιστοιχίζεται ανεξάρτητα σε μία από δύο εξόδους, έτσι `2 × 2 × 2 × 2 = 16`. Ούτε περισσότερες, ούτε λιγότερες.

Οι πέντε που έχουν δικό τους τελεστή Perl (`&&`, `||`, `xor`, συν τις δύο τετριμμένες — πάντα-αληθές και πάντα-ψευδές) είναι αυτές που γνωρίζουν όλοι. Οι άλλες έντεκα είναι σιωπηλά κι αυτές εκεί, εκφρασμένες ως μικρές συνθέσεις. Αυτό το κεφάλαιο απαριθμεί και τις δεκαέξι, τις ονομάζει, και δείχνει πώς γράφεται η καθεμία στην Perl.

## Η σύμβαση

Κάθε συνάρτηση περιγράφεται πλήρως από την έξοδό της για τις τέσσερις γραμμές εισόδου, γραμμένες από πάνω προς τα κάτω με αυτή τη σειρά:

```default
 a  b   →  output
 0  0   →  bit 1
 0  1   →  bit 2
 1  0   →  bit 3
 1  1   →  bit 4
```

Διαβάζοντας αυτά τα τέσσερα bit εξόδου ως αριθμό 4 bit, δίνεται στη συνάρτηση ο δείκτης της 0..15. Έτσι το `AND` είναι `0001` (μόνο η τελευταία γραμμή είναι αληθής), το `OR` είναι `0111`, το `XOR` είναι `0110`. Τα τρία τέταρτα του πίνακα είναι απλώς αναζήτηση της σωστής γραμμής.

## Και οι δεκαέξι

|   # | Αλήθεια `00 01 10 11`   | Όνομα                 | Σύμβολο       | Perl απευθείας   | Perl ιδιωματικά                       |
|-----|-------------------------|-----------------------|---------------|------------------|---------------------------------------|
|   0 | `0 0 0 0`               | ψευδές (αντίφαση)     | `⊥`           | `0` / `""`       | —                                     |
|   1 | `0 0 0 1`               | AND                   | `∧`           | `$a && $b`       | `$a and $b`                           |
|   2 | `0 0 1 0`               | a AND NOT b           | `a ∧ ¬b`      | —                | `$a && !$b`                           |
|   3 | `0 0 1 1`               | a (αριστερή προβολή)  | `a`           | `$a`             | —                                     |
|   4 | `0 1 0 0`               | NOT a AND b           | `¬a ∧ b`      | —                | `!$a && $b`                           |
|   5 | `0 1 0 1`               | b (δεξιά προβολή)     | `b`           | `$b`             | —                                     |
|   6 | `0 1 1 0`               | XOR                   | `⊕`           | `$a xor $b`      | `!$a != !$b` / `($a?1:0) != ($b?1:0)` |
|   7 | `0 1 1 1`               | OR                    | `∨`           | `$a || $b`       | `$a or $b`                            |
|   8 | `1 0 0 0`               | NOR                   | `↓` (Pierce)  | —                | `!($a || $b)` / `!$a && !$b`          |
|   9 | `1 0 0 1`               | XNOR / ισοδυναμία     | `↔`           | —                | `!$a == !$b` / `($a?1:0) == ($b?1:0)` |
|  10 | `1 0 1 0`               | NOT b                 | `¬b`          | `!$b`            | `not $b`                              |
|  11 | `1 0 1 1`               | το b συνεπάγεται το a | `b → a`       | —                | `!$b || $a`                           |
|  12 | `1 1 0 0`               | NOT a                 | `¬a`          | `!$a`            | `not $a`                              |
|  13 | `1 1 0 1`               | το a συνεπάγεται το b | `a → b`       | —                | `!$a || $b`                           |
|  14 | `1 1 1 0`               | NAND                  | `↑` (Sheffer) | —                | `!($a && $b)` / `!$a || !$b`          |
|  15 | `1 1 1 1`               | αληθές (ταυτολογία)   | `⊤`           | `1`              | —                                     |

Πέντε γραμμές έχουν απευθείας τελεστή Perl (`&&`, `||`, `xor`, `!`, συν τις δύο σταθερές). Οι άλλες έντεκα είναι σύντομες συνθέσεις αυτών. Δεν υπάρχει θεμελιώδης λόγος που η Perl γράφει κάποιες απευθείας και άλλες όχι — είναι ιστορικό, κληρονομημένο από τη C. Κάθε στήλη στα δεξιά είναι κάτι που μπορείτε να πληκτρολογήσετε σήμερα.

Αξίζει να ξεχωρίσουμε δύο πράγματα από τον πίνακα.

## Συνεπαγωγή: `→`

Η συνεπαγωγή είναι ο τελεστής που κανείς δεν νομίζει ότι χρησιμοποιεί, και όλοι χρησιμοποιούν συνεχώς. Το `a → b` διαβάζεται «το a συνεπάγεται το b» και είναι αληθές σε κάθε περίπτωση **εκτός** όταν το `a` είναι αληθές και το `b` είναι ψευδές. Αυτό είναι όλο.

|   a |   b |   a → b |
|-----|-----|---------|
|   0 |   0 |       1 |
|   0 |   1 |       1 |
|   1 |   0 |       0 |
|   1 |   1 |       1 |

Η γραφή σε Perl είναι `!$a || $b`. Αυτή η ταυτότητα —

> **`a → b` ≡ `¬a ∨ b`**

— είναι τόσο κοινή που αξίζει ένα όνομα· και το όνομα είναι  *υλική συνεπαγωγή*. Αφού τη δείτε μία φορά, την εντοπίζετε παντού:

```perl
# "if the user is admin, the request must be authenticated"
# admin → authenticated
die unless !$user->is_admin || $req->is_authenticated;

# read aloud: "either not admin, or authenticated, or both"
```

Η μορφή `unless ... !X || Y` είναι άβολη. Το επόμενο κεφάλαιο για τους νόμους του De Morgan δείχνει πώς να την αναστρέψετε σε κάτι αναγνώσιμο.

Μια δεύτερη χρήσιμη ταυτότητα: η συνεπαγωγή είναι **η άρνηση του XOR**  *μόνο όταν γράφεται με έναν συγκεκριμένο τρόπο*. Μην το αποστηθίζετε αυτό — αποστηθίστε αντ” αυτού τον παρακάτω, που είναι ο πραγματικός πίνακας αναζήτησης για την εναλλαγή μεταξύ κοινών μορφών:

| Στόχος         | Ένας τρόπος           | Ισοδύναμος τρόπος   |
|----------------|-----------------------|---------------------|
| `a → b`        | `¬a ∨ b`              | `¬(a ∧ ¬b)`         |
| `a ↔ b` (XNOR) | `(a ∧ b) ∨ (¬a ∧ ¬b)` | `¬(a ⊕ b)`          |
| `a ⊕ b` (XOR)  | `(a ∧ ¬b) ∨ (¬a ∧ b)` | `¬(a ↔ b)`          |
| `¬a`           | `a ↑ a` (αυτο-NAND)   | `a ⊕ 1`             |

Η τελευταία στήλη είναι μια προεπισκόπηση για το κεφάλαιο της λειτουργικής πληρότητας.

## Η ισοδυναμία και το XOR είναι δυϊκά

Το XOR είναι αληθές ακριβώς όταν τα `a` και `b` διαφέρουν. Η ισοδυναμία (XNOR) είναι αληθής ακριβώς όταν συμφωνούν. Είναι αρνήσεις μεταξύ τους, και αυτό ακριβώς λένε οι γραμμές του πίνακα αληθείας (η γραμμή 6 είναι `0 1 1 0`, η γραμμή 9 είναι `1 0 0 1` — άρνηση κατά bit).

Στην Perl η πιο καθαρή γραφή και για τα δύο είναι να κανονικοποιηθεί κάθε τελεστέος σε `0` ή `1` πρώτα και στη συνέχεια να γίνει σύγκριση με `==` ή `!=`:

```perl
my $a01 = $a ? 1 : 0;
my $b01 = $b ? 1 : 0;

my $xor  = $a01 != $b01;   # true if they differ
my $xnor = $a01 == $b01;   # true if they agree
```

Γιατί η κανονικοποίηση; Επειδή τα `$a` και `$b` μπορεί να είναι οποιεσδήποτε αληθείς τιμές — οι συμβολοσειρές `"yes"` και `5` είναι αμφότερες αληθείς αλλά όχι ίσες. Η απευθείας σύγκρισή τους με `==` ή `eq` απαντά σε διαφορετική ερώτηση. Το λογικό XOR ρωτά «έχουν την ίδια  *αλήθεια τιμής*;», όχι «είναι ίσες;».

Μια σύντομη εναλλακτική χωρίς τις προσωρινές τιμές είναι `!$a != !$b` — κάθε `!` επιστρέφει το κανονικό `1` ή `""`, και στη συνέχεια το `!=` τις συγκρίνει. Δουλεύει, αλλά διαβάζεται πλάγια· η ρητή μορφή `? 1 : 0` είναι πιο αναγνώσιμη.

## Διαβάζοντας τον πίνακα αντίστροφα

Μερικές φορές θα γνωρίζετε το μοτίβο αληθείας που θέλετε και θα χρειαστεί να βρείτε τον τελεστή. Παράδειγμα: «Θέλω μια συνάρτηση που να είναι αληθής εκτός αν τα `a` και `b` είναι αμφότερα ψευδή.» Διαβάστε τις γραμμές: `a=0,b=0 → 0`, `a=0,b=1 → 1`, `a=1,b=0 → 1`, `a=1,b=1 → 1`. Αυτό είναι `0 1 1 1` — γραμμή 7 — OR.

Αυτό ακούγεται τετριμμένο εδώ, αλλά είναι ακριβώς πώς αποσφαλματώνετε μια μπερδεμένη συνθήκη: γράψτε τον πίνακα αληθείας της, διαβάστε τα τέσσερα bit, βρείτε τη γραμμή, και έχετε το κανονικό όνομα και την απλούστερη γραφή.

## Τι πρέπει να θυμάστε από αυτό το κεφάλαιο

- Υπάρχουν ακριβώς δεκαέξι δυαδικές συναρτήσεις αληθείας· κάθε λογική έκφραση σε οποιαδήποτε γλώσσα υπολογίζει μία από αυτές.
- Πέντε από τις δεκαέξι έχουν αποκλειστικό τελεστή Perl. Οι άλλες έντεκα είναι σύντομες συνθέσεις και ο παραπάνω πίνακας είναι η αναζήτηση.
- Η συνεπαγωγή `a → b` είναι `¬a ∨ b`. Εμφανίζεται συνεχώς κάτω από την επιφάνεια προτάσεων `unless` και `if`.
- Το XOR και το XNOR είναι αρνήσεις μεταξύ τους. Η πιο καθαρή γραφή σε Perl και για τα δύο ξεκινά με την κανονικοποίηση των τελεστέων σε `0` ή `1`.